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物理学引发了公众的敬爱心，但好多东谈主以为数学令东谈主逃避而视。然而，物理学中的好多中枢念念想源于浅显的旨趣，这些旨趣经过诊疗和修改，逐步演变为能够更好地映射物理快意的复杂样子化才气。

天然好多物理学毕业生最终从事数据科学使命，但物理学中的数学视力能否为数据科学家提供启发并丰富他们的学问呢？我认为谜底是信托的。尽管数据科学当作一个孤苦的学科相对较新，但数据的网络和分析连结了物理学的历史，举例约翰内斯·开普勒通过网络天文不雅测数据推导出了行星诱骗定律。物理学和数据科学齐从数据中索取模式，尽管数据科学时时贬责的是统计模式，而物理学贬责的是稳当限定的或递次性的模式。交融基本定律不错匡助数据科学家在建模复杂系统和建筑真确天下快意的模拟时取得更好的恶果。

在本文中，我将探讨支握大部分物理学的三个数学念念想：最小作用量旨趣、描摹爱因斯坦狭义相对论中时辰和空间变换的洛伦兹变换，以及支握广义相对论（行将引力解释为时空曲率的表面）数学基础的度规张量。

最小作用量旨趣可能是整个物理学中最伏击的旨趣，因为它连结了经典力学和量子力学。它提供了一个与牛顿发明的描摹物理系统演化的经典诱骗方程等效但不同的表述。具体来说，它通过详情最小化一种称为作用量的东西的旅途来描摹物理系统在时辰上的诱骗。作用量是一个泛函，即一个以函数为输入的函数，它描摹了系统在两个点之间旅途变化的驻定性。

驻定性（也称为极值性或停滞性）在物理学和数学中是指某个函数在某点隔壁不再不竭增大或减小，而是处于一个极值点（极大值或极小值）或驻点的性质。在这个点上，函数的一阶导数（即斜率）为零，函数的值“停留”在某个理会的景色。

函数：输入数值，输出数值

泛函：输入函数，输出数值

算子：输入函数，输出函数

交融作用量当作一个泛函，迥殊是当作对旅途变化进行评分的器用，是交融其背后办法的环节。下文的解释将使这极少愈加明晰。这一权贵赶走将诱骗抒发为在给定不休条目下的一种优化函数。

洛伦兹变换描摹了时辰和空间坐标如何交汇成一个斡旋的度量，从而使它们的测量能够相关于惯性参照系中的不雅察者成比例地变化，同期保握光速不变。这个样子化才气确保了光速在不同参照系中保握恒定，这与牛顿的假定相背，后者认为光速会相关于不变的空间和时辰单元发生变化。在狭义相对论建议之前，光速的恒定性是一个与经典物理框架不相符的实验不雅察快意。

终末，咱们解释度规张量背后的数学念念想，它描摹了曲面上的长度或距离。度规张量是一个双线性、对称的恒等矩阵，它将平坦的欧几里得空间中基于毕达哥拉斯定理的长度办法执行到包括曲面在内的任何可能的空间。曲面被爱因斯坦用来描摹在引力存不才时空的误解。你们可能止境熟识欧几里得距离和线性代数，因此交融度规张量背后的办法应该是一个天然而然的事情。由伯恩哈德·黎曼发展起来的度规张量组成了非欧几里得几何的基础，奇妙地将长度的办法执行到任何基础几何上。

最小作用量旨趣

最小作用量旨趣组成了物理学的中枢。它包括了诱骗方程，并以数学样子抒发了物理系统在时辰上过渡的章程。

要开端交融这个旨趣，回首一下牛顿第二定律是如何通过三个输入来计较粒子系统的轨迹的：粒子的质料、作用在系统上的力，以及运转位置和速率，并通过F=ma详情演化章程，其中m泄漏质料，a泄漏加快度。与牛顿的才气不同，最小作用量旨趣通过输入运转和最终位置、质料和速率（以及凭证系统的不同而不同的其他不休）来计较系统的轨迹，但不祥了力的作用。它随后聘请了最小化一种称为作用量的数目的旅途。在咱们解释作用量的具体内容之前，咱们需要交融牛顿方程的另一种表述，即拉格朗日量（Lagrangian）。

拉格朗日量L被计较为动能T与势能V之间的差值，其中T由质料与速率闲居的乘积除以2（2泄漏运转速率与最终速率之间的平均值）得出，而V则由物体的质料m、重力常数g和物体离地高度h的乘积得出（势能的计较随系统的不同而变化）。

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其中：

m = 质料

v = 速率

g = 重力强度 9.8 m/s²

h = 高度

N = 粒子数目

k = 粒子标签

为什么拉格朗日量是通过动能和势能的差值计较出来的？因为当系统诱骗时，它将势能编削为动能，而两者之间的差值捕捉到了这两种能量之间的动态相互作用。相私下，伏击的是要戒备，总能量是通过这两个值的和计较出来的。

拉格朗日量的输入是位置 x 和速率 v。这是因为速率是位置的第一导数。

要计较拉格朗日量，咱们至少需要知谈速率、广义坐标、位置和粒子的质料。势能取决于粒子（或一组粒子）的位置，因为它描摹了该粒子可能作念的功，而动能取决于粒子的速率，因为它描摹了粒子的诱骗。

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在筹谋物理系统的轨迹或旅途时，作用量是如何成为一个环节办法的？遐想在一条曲面上有两个点，你需要找到最短的距离。这两个点之间有好多旅途，但惟有一条旅途泄漏最短距离。作用量雷同于这个问题。为了找到系统的轨迹，咱们需要聘请一条使作用量最小化的旅途。由此推广，作用量在系统演化流程中保握驻定。

由于作用量必须是驻定的，因此作用量的一阶偏导数必须为零：

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在高等次上，作用量通过拉格朗日量在给定时辰区间[t_0, t_1]的旅途积分来描摹。尽管从 t_0 到t_1的函数积分时时被交融为弧线下的面积，但拉格朗日量的旅途积分不应直不雅地被视为面积，而应被视为泛函的积分。泛函所以另一个函数当作输入并输出标量的函数。输入是拉格朗日量，输出界说了作用量。在系统不错在t_0和t_1之障碍纳的好多旅途中，咱们会发现它正巧聘请了最小化作用量的旅途。

以下是作用量当作拉格朗日量旅途积分的浅显公式：

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当今，由于定积分不错通过函数f(x)输出的y值与x的变化（泄漏为 Δx）的乘积的黎曼和来计较，当 k的区域分区趋于无尽大时，咱们不错将作用量计较为拉格朗日量与时辰导数 dt的乘积的黎曼和。换句话说，拉格朗日量的定积分不错通过在时辰区间内最小化作用量来计较。

2020年3月非法出境缅甸。2021年9月24日自缅甸经边境投案自首，实行隔离医学观察。9月26日新冠病毒核酸检测阳性，转运至瑞丽市方舱医院隔离诊治，诊断新冠肺炎确诊病例（轻型，缅甸输入）。

作用量由系统运转位置和最终位置之间的拉格朗日量旅途积分组成。这意味着旅途积分通过计较势能和动能之间的差值来最小化作用量。微积分的基本定理允许咱们将作用量计较为t_0和t_1 之间的连气儿区间，尽管它也不错在龙套时辰步长N入网算。淌若咱们将作用量遐想为龙套时辰步长 N的总数，咱们不错将其计较为拉格朗日量在每个时辰步长的值与时辰t值的乘积的总数。

拉格朗日量时时依赖于位置和速率，但也不错是时辰有关的。淌若拉格朗日量随时辰变化，即使其位置和速率保握不变，咱们就说它是时辰有关的。不然，拉格朗日量隐式地通过位置和速率的变化依赖于时辰。关于时辰无关的公式，咱们将 L(x,x˙)代入方程，以泄漏其对位置和速率的依赖性：

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当今，凭证动量守恒定律，系统扫数动量之和的导数等于零。换句话说，在一个伶仃系统中，总动量弥远是守恒的或保握不变的。常数的导数为零，因为变化率保握不变或相配。在牛顿力学中，第三诱骗定律标明，每一个作用齐有一个相背且相配的副作用劲，这抒发了总动量的守恒。

相通，能量守恒定律认为伶仃系统的总能量在职何编削流程中齐是守恒的：总能量的时辰导数为零。然而，与动量不同的是，能量有不同的样子。扫数这些样子的总数是守恒的。用诱骗的术语来说，能量惟有咱们一直在筹谋的两种样子：动能和势能。

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由于拉格朗日量界说为这两种能量样子之间的差值，当拉格朗日量在时辰平移下不变时，这意味着能量的守恒。

雷同于能量守恒的情况也出当今作用量方面。在详情的轨迹中，天然聘请使作用量值最小的旅途。这种最小化雷同于优化问题中函数的最小化，只不外作用量代表了包括每个时代扫数坐标在内的多个变量。这种极值特质通过欧拉-拉格朗日方程抒发出来，造成了诱骗方程。

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什么是欧拉-拉格朗日方程？它们是描摹系统如何从一个时代挪动到下一个时代的微分方程。当今，我不会在这里推导这些方程，但直不雅上，咱们将作用量A相关于位置 dx的导数设为零。换句话说，咱们推敲旅途中的渺小变化，并要求作用量的偏导数为零。

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这会产生欧拉-拉格朗日方程的两个项：拉格朗日量对速率的偏导数的时辰导数，以及拉格朗日量对位置的偏导数。分别代表动能（动量变化）和势能的变化。将这两个量之间的差值设为零，就得到了最小化作用量的欧拉-拉格朗日方程。

单个坐标或目田度下的欧拉-拉格朗日方程如下所示，其中 L泄漏拉格朗日量，x点泄漏速率，x 泄漏位置。

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用天然说话描摹，这个方程泄漏为：拉格朗日量对速率的偏导数的时辰导数减去拉格朗日量对位置的偏导数等于零。直不雅上，这不错再行表述为：拉格朗日量相关于速率的瞬时变化率的时辰导数减去拉格朗日量相关于位置的瞬时变化率是驻定的。

进一步简化，欧拉-拉格朗日方程意味着物理系统的诱骗对应于拉格朗日量积分（即作用量）的极值。

该方程不错执行到纵脱坐标（x,y,z,…n）：

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在具体情境中，作用量是一个泛函，也即是说，它是一个函数的函数，波及从一个函数输入（拉格朗日量）到标量输出（作用量值）的映射。

尽管最小作用量旨趣能够灵验计较物理系统的轨迹，但它需要知谈运转和遣散位置。拔赵帜立汉帜的是咱们使用牛顿样子化才气，它要求学谈粒子的位置和运转速率。

最小作用量旨趣不错在伏击的收尾条目下适合量子物理，其中推敲了初态和末态之间的扫数可能旅途，并通过计较每条旅途的概率幅的总数来详情系统的概率演化。

凭证这种表述，经典的最小作用量旨趣不错被认为是量子表述的一个特例，在扫数旅途中，最小作用量旅途占主导地位。

洛伦兹变换

交融洛伦兹变换是干涉爱因斯坦狭义相对论的进口。它们组成了计较惯性或匀速参照系中的相对论时空变换的数学框架，即解除引力的参照系。

狭义相对论的中枢办法是，诱骗只可相关于某个参照系来描摹，而不可用竣工的格式来描摹。举例，淌若我在开车，相关于汽车来说我是静止的，但相关于我的屋子来说我是在挪动的。

相对诱骗的办法存在于经典力学中，最早由伽利略描摹。

狭义相对论中冲突性的视力并不是相对诱骗自身，而是在空间平移流程中保握不变或恒定的内容。在经典力学中，扫数诱骗齐是无远隔地相对的，而空间和时辰的坐标仅以加法格式变化，同期关于扫数不雅察者来说齐是静止且相互孤苦的。

经典力学中的相对诱骗假定意味着光的诱骗也应解任相对论定律。换句话说，淌若我站着不动并拿入部属手电筒，而你在开车并拿入部属手电筒，那么你手电筒发出的光的诱骗应被测量为光速与你的速率之和。

然而，实考据据与这一假定相矛盾。试验上，无论参照系如何，光的速率齐是恒定的。换句话说，实考据据标明光速是竣工的。

爱因斯坦并莫得在不雅察赶走中寻找纰缪，而是将光速恒定性当作天然法规。淌若光速弥远测量疏通，那么必须改变的是空间和时辰坐标的泄漏格式。

要交融爱因斯坦的狭义相对论如何收尾这极少，伏击的是对经典力学描摹的简化诱骗方程有一个初步的交融。这些方程将被修改，以便不雅察者之间的相对诱骗不会改变光速，而是改变空间和时辰的交汇度量。这带来了一个奇特的赶走：当速率接近光速极限时，时辰和距离的测量会因不雅察者不同而有所不同。

诱骗方程时时被简化为SUVAT缩写（s = 距离，u = 运转速率，v = 速率，a = 加快度，t = 时辰）：

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闵可夫斯基度规

为了使洛伦兹变换易于交融，咱们将使用时空图。这些图回转了距离和时辰的坐标轴，时辰泄漏为x轴，距离泄漏为y轴。此外，咱们使用y轴泄漏大的距离区间，因为咱们想解释相关于光速的诱骗。光速为299,792,458 米/秒。在时空图中，一秒钟将对应于这个距离。这意味着图中位于坐标轴之间45°角的直线泄漏光速在时辰上的恒定性。试验上，笛卡尔坐标系中的对角线将代表光速的渐近极限，这将约束在y轴上时辰的平移和在x轴上空间的平移。

在时空图中，45°角的直线泄漏光速传播。淌若一条直线的角度小于45°，这泄漏该物体以低于光速的速率（亚光速）匀速诱骗。在牛顿经典力学的框架中，光速被视为和其他任何速率一样，不错相对重复或减去。因此，在牛顿的不雅点中，直线角度大于45°的情况意味着该物体以卓绝光速的速率（超光速）诱骗。此外，皇冠博彩网址牛顿的模子假定时辰和空间的单元是不变的，即无论参照系如何变化，这些单元弥远保握恒定。因此，淌若以半光速朝着光的标的诱骗，从你的参照系来看，光速会减少一半，因为你认为我方在追逐光。然而，狭义相对论解释这种交融是纰缪的，光速在扫数参照系中齐是恒定的，不会因不雅察者的速率而改变。

从将空间和时辰视为孤苦测量到将它们整合为称为时空的连气儿体，这一飞跃波及将时辰变量编削为距离的测量。咱们通过将时辰变量与光速常数c 进行加权来收尾这极少。当咱们将c 乘以t 时，得到 ct，它测量的是1光秒。

在牛顿-伽利略的框架中，两个参照系S和S'分别由坐标(x, t)和(x',t')给出，其中撇号标志用于分裂两个相对的参照系（并不泄漏微分或导数）。这些参照系是可逆的，且在伽利略相对论中它们的逆是等价的。从S的参照系来看，S'的坐标（位置和时辰）分别由x' = (x-vt)和t' = (t- vx/c²)给出。相通地，从S'的参照系来看，S的坐标由x = (x' + vt')和t = (t+vx/c²)给出。然而，这些调节最终使光相对化，而不是时空。那么，问题来了，咱们如何从S →S' 进行调节，以便在保留 c（光速）的同期，按比例缩放时辰和距离变量（更准确地说，时空连气儿体）？

一种推导这些调节的才气是使用咱们上头先容的时空图，其中咱们通过常数 c对时辰进行了缩放。咱们正在寻找的调节不错泄漏如下：

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事实上，咱们将应用参照系之间的对称性或等价性来推导出伽玛因子当作相对参照系之间时空调节的共同缩放因子，以响应光速恒定性。下图展示了这种相对诱骗的伽利略对称性，抒发了咱们引入的两个参照系当作相互的逆：

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参照系之间的可逆对称性。

由于光速在扫数参照系中齐是恒定的，淌若从两个参照系的原点开端（x = 0 和 t = 0），光的旅途将得志以下方程（回首一下，45°的对角线泄漏光速，其中一个时辰单元对应于光在一个距离单元内的传播距离）：

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从x到x'的调节由以下方程给出，其中x'仅仅x与速率和时辰的乘积之差。当今，为了推导洛伦兹变换，咱们需要某个因子来缩放时空变换。因子等于v/c——即速率与光速的比值——并用于缩放ct。淌若伸开抒发式，会发现它在代数上简化为括号内的牛顿变换。正如咱们将看到的，当洛伦兹因子接近1时，洛伦兹变换就会等同于它们的牛顿对应物，这与咱们日常所交融的事件的同期性相对应。以下公式展示了咱们如何从运转公式推导出伽玛缩放的相对位置调节公式：

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相通，咱们不错通过以下方程推导出从t到t'的时辰变换。由于使用的是时空图，咱们从ct'开端。咱们看到ct'不错通过ct和缩放x的差来计较，整个抒发式再由洛伦兹因子缩放。通过伸开抒发式代数求解t'，这将t'的解简化为t-vx/c²，并乘以：

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当速率止境小时，vx/c²简化为0，简化为1，赶走为t'=t。这一赶走与咱们日常的牛顿教育相对应，即我在静止景色下的1秒钟轻易等于你相关于我以恒定速率诱骗时的1秒钟。

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正如你可能戒备到的，x'的调节波及ct当作一个项，而t'的调节波及x当作一个项。通过将它们当作相互参照系变换中的项，时辰和空间变得交汇在整个，造成一个相互依赖的连气儿体，其中一个变量的单元变化对应于另一个变量的单元变化。这种相互联系将解释由洛伦兹变换描摹的时辰彭胀和空间减弱的比例联系。

咱们如何详情洛伦兹因子的值？一种才气是将调节方程相乘并求解共同因子。记着，由于咱们之前引入的等式，咱们不错分别用ct和ct'替换x和x'。这将使咱们能够消去疏通的项并求解：

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当今咱们不错通过以下替换抒发x'参照系：

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况且不错通过以下替换抒发t'参照系：

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在每个方程中，当速率v接近光速时，v²/c²接近1，分母的值接近√0。咱们从E=mc²知谈，具有静止质料的物体原则上不可能被加快到等于光速。因此，分母的值不可能物理上等于0。

另一方面，当速率很小，v²/c²是一个止境小的数值时，分母的值接近1。当分母（称为洛伦兹因子）等于1或接近1时，洛伦兹因子变得无关庞大，方程近似为牛顿诱骗方程。也即是说，诱骗方程由分子给出，简化为牛顿的诱骗方程。

洛伦兹因子是交融洛伦兹变换的环节。淌若你回首伽利略相对论，惯性参照系的互换性是通过旋转收尾的。旋转由三角函数描摹，三角函数保握欧几里得距离不变。具体来说，旋转保握半径不变。这意味着长度单元在调节流程中保握恒定。

雷同地，洛伦兹变换保握了时空度规不变。与欧几里得度规不同，时空度规使扫数的时空变换相关于光速这一竣工值变得相对。因此，光速造成了洛伦兹变换所趋近但无法等同的渐近线。渐近线由穿过两个坐标轴的对角线组成。由于时空变换的限度既是无限的，同期又渐近于对角线，因此它们由双曲函数或旋转来描摹。双曲旋转是雷同于三角函数的函数，但使用的是双弧线而不是圆。与有限的圆不同，双曲旋转不错扩展到无限的限度。它们与三角函数对应的函数不错被描摹为对异常数e（2.718）的指数运算，其中sin(x)的雷同物泄漏为sinh(x)，cos(x)的雷同物泄漏为cosh(x)，它们分别由以下函数描摹：

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就像在单元圆中(sin x, cos x)描摹其点一样，(cosh x, sinh x)造成单元双弧线的右半部分。在狭义相对论的布景下，双曲旋转的角度被称为“飞速性”（rapidity），用标志eta 泄漏。以下是与咱们之前推导出的洛伦兹变换等效的双曲旋转：

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洛伦兹因子与双曲旋转飞速性之间的联系如下：

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淌若伽利略旋转保握半径或欧几里得距离不变，那么洛伦兹变换保握什么不变？它们保握闵可夫斯基度量不变，由以劣等式给出，这与欧几里得距离雷同：

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由于试验的洛伦兹变换发生在四维空间中，1个时辰维度和3个空间维度，或者说4个时空维度，四维闵可夫斯基区间由以下方程给出：

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底下的GIF图展示了这些双曲变换当作二维时空误解，跟着速率接近光速而逐步趋近对角线渐近线。网格上的误解泄漏由于不雅察者的相对速率导致的时空度量的误解。跟着速率接近光速极限，空间（水平轴的双弧线）减弱，时辰（垂直轴的双弧线）彭胀。这些交汇在整个的变换保握了闵可夫斯基度规s²的恒定，比例缩放这些变换以对消光速的不变性。

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空间减弱与时辰彭胀不错在静止不雅察者和以匀速或惯性速率挪动的不雅察者之间回转。淌若你相关于一个静止的东谈主以接近光速的匀速诱骗，相通不错描摹你为静止，而对方则所以接近光速诱骗。

度量张量：曲面几何

狭义相对论中的洛伦兹变换发生在平坦的伪欧几里得空间中。什么是平坦空间？它是一种几何结构，其中点之间的度量或距离测量是恒定的。最着名的平坦空间度规是由毕达哥拉斯定理界说的。另一个平坦度规包括咱们上头筹谋的闵可夫斯基时空度规。

欧几里得度规将两点之间的距离界说为直角三角形最短边的闲居和的闲居根。这源于毕达哥拉斯定理：a² + b² = c²。

从几何学上讲，欧几里得两点间的距离是每个坐标（x,y）之间闲居差的和的闲居根。

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毕达哥拉斯定理不错执行到n维空间：

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因此，咱们不错用底下的公式抒发三维空间中的欧几里得距离：

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然而，这种执行保留了欧几里得平坦空间当作距离属性。换句话说，度量保握恒定。

为了交融度量张量，咱们需要学会将毕达哥拉斯定理视为平坦或欧几里得空间的特例。

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换句话说，咱们需要界说一个中立空间，使得由毕达哥拉斯定理界说的欧几里得距离不错当作特例推导出来。

在作念到这极少之前，必须问为什么在毕达哥拉斯定理中坐标差是闲居的？这不错通过多种格式解释，但一种直不雅的解释是几何学上的。它们是闲居的，因为这产生了等长的几何面积，推敲到面积是长度和宽度的乘积，这使咱们能够将斜边计较为直角边闲居和的闲居根。这个谜底由克罗内克δ界说的度量张量给出，淌若i=j则输出1，淌若i≠j则输出0。

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然而，咱们也不错通过空间的广义度规来演示这个赶走，其中度规张量由切空间上的平滑变化的内积组成。

什么是切空间？切空间是切于流形上极少的扫数向量的聚会。

该方程的一般样子如下，其中g代表度规张量，μv是每个坐标项的度量张量值的索引，dX泄漏每个坐标的渺小位移：

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凭证上述方程，咱们不错用以下乞降公式泄漏二维空间中两点之间的闲居距离：

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在上头的公式中，g统统支配的零和一以及x变量泄漏索引。具体来说，它们泄漏的是0和1的枚举矩阵，即：01, 00, 11, 10。

dx⁰和dx¹统统泄漏两个不同坐标的渺小位移，其中0和1泄漏索引。每个坐标的位移乘积与相应的度量张量g的值相乘。

因此，在上述公式中，g代表每个索引的度规张量的统统。为什么上头的公式有四项？因为两点由四个坐标或标量值描摹。在欧几里得几何中，隐含的基向量是切向量(0,1)和(1,0)。这些切向量朝上了整个欧几里得空间。当今g界说了向量空间中任极少处的切向量之间的内积。g的值通过扫数可能的基向量组合的内积赢得。

当统统值泄漏两点之间的正交联系时，g的值简化为单元矩阵：

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在二维空间或两坐标系统中，咱们不错将欧几里得距离泄漏为度规张量和各坐标之间距离闲居的向量的乘积。因为在平坦欧几里得空间中直角的度规张量是单元矩阵，两点之间的闲居距离简化为如下所示的毕达哥拉斯定理：

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上头的公式也不错泄漏为咱们第一个公式中抒发的线性加权组合：

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欧几里得距离当作带有g值的线性加权和。

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如上所示，当g=0时，咱们不错摈斥后两项，将方程简化为欧几里得距离。因此，咱们仍是解释了度规张量的广义样子如何泄漏欧几里得距离当作一个异常或极限情况。

当最短距离不可通过欧几里得距离泄漏时会若何？在日常直观中，咱们假定相对和相邻线段的长度存在直角，以便得志当作斜边距离测量的毕达哥拉斯定理。在线性代数中，这相当于假定正交基当作空间的度量。基界说为朝上该向量空间的线性孤苦向量集。正交基是垂直的单元向量或内积为零的单元向量。

但这种先验假定在教育上可能是站不住脚的。事实上，底层几何可能以不同格式盘曲或歪斜。淌若是这么，咱们如何泄漏两点之间的最短距离？为了界说非欧几里得空间，咱们为度量聘请了不同的基向量。这些基向量的枚举空间的内积将输出度规张量，该张量通过两点任何渺小位移的线性组合界说该度量中的距离和角度，公式如下：

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广义黎曼距离

当今，让咱们看一个使用极坐标（r, θ）的例子，其中r泄漏半径，θ泄漏角度。g度规张量通过枚举空间（r, θ）的内积得到，如下所示：

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淌若咱们推敲欧几里得极坐标，度规张量将推崇为底下的矩阵：

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极坐标的度量张量的具体实例

这是因为距离是通过以下格式计较的：

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当今，两点 (r¹¹) 和 r²²) 之间的距离不错通过计较r²-r¹和²-¹的距离，并将它们代入底下的公式得到：

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到咫尺为止，扫数例子齐在二维空间中。天然，咱们不错将疏通的念念想扩展到三维或N维空间。三维空间的度规张量将是一个3x3的矩阵，依此类推。

交融度规张量是交融广义相对论和爱因斯坦场方程的伏击一步。

在广义相对论中，爱因斯坦的场方程使费用规张量来描摹时空的曲率几何。

具体来说，爱因斯坦的场方程使用了三个张量：1）爱因斯坦张量G，它通过度规张量的导数描摹时空的曲率，2）能量-应力张量T，它描摹了六合中物资和能量的散播，3）度规张量g，它界说了曲率几何中长度和角度的测量。爱因斯坦的场方程时时由以下方程回来：

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在广义相对论中，度量张量由一个4x4的矩阵组成，包含16个重量。正如咱们二维示例中的情况一样，度量张量由扫数维度的枚举空间组成，在这个例子中，包含了3个空间维度和1个时辰维度，共同造成了4维时空。然而，由于矩阵试验上是对称的，因此惟有10个重量是相互孤苦的。

度规张量的通用样子如下所示：

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度规张量的值随时空的曲率而变化，因为它们编码了质料-能量的散播。因此，与在扫数变换中保握长度恒定的欧几里得距离不同，曲率几何并不是这么。这即是为什么度量张量是交融广义相对论的环节方面。

当今你仍是了解了这些办法亚博捕鱼，八成你会对物理学中的复杂念念想和数学样子宗旨感到不那么怕惧了！

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